Simpangan, Periode dan Frekuensi GHS

Pada pembahasan mengenai Hubungan antara GHS dan GMB, kita telah menurunkan persamaan simpangan benda. Pada kesempatan ini, kita akan membahas lebih jauh mengenai Periode, Frekuensi dan Simpangan pada Gerak Harmonik Sederhana…..SimpanganYang dimaksudkan dengan simpangan pada Gerak Harmonik Sederhana adalah jarak maksimum benda diukur dari posisi setimbang. Agar dirimu lebih memahaminya, mari kita tinjau dengan gambar.Dua contoh Gerak Harmonik Sederhana adalah ayunan sederhana dan getaran pegas. Mari kita tinjau simpangan pada dua contoh GHS sederhana ini.Ayunan SederhanaAmati gambar ayunan sederhana di bawah ini. B adalah posisi setimbang. Simpangan adalah jarak dari posisi setimbang B ke A (B-A) atau B ke C (B-C). Amplitudo merupakan simpangan maksimum atau simpangan terjauh ketika benda berosilasi (melakukan getaran). Apabila jarak B-A atau B-C merupakan simpangan maksimum maka jarak B-A atau B-C adalah Amplitudo (A).Getaran PegasKita tinjau dua jenis getaran pegas, yakni pegas yang diletakan horisontal dan pegas yang diletakkan vertikal.Pegas yang diletakkan horisontalAmati gambar di bawah. x = 0 adalah posisi setimbang. Pada gambar di bawah, simpangan adalah +x (gambar 1) atau -x (gambar 2). +x atau -x disebut Amplitudo apabila itu merupakan simpangan maksimum.Pegas yang diletakkan vertikalPerhatikan gambar di bawah. Pada pegas yang digantungkan vertikal, gravitasi bekerja pada benda bermassa yang dikaitkan pada ujung pegas. Akibatnya, walaupun tidak ditarik ke bawah, pegas dengan sendirinya meregang sejauh x0. Pada keadaan ini benda yang digantungkan pada pegas berada pada posisi setimbang. Apabila posisi setimbang kita ukur pada xo, maka yang dimaksudkan dengan simpangan adalah x (gambar a) dan -x (gambar b). Periode Gerak Harmonik SederhanaPeriode Gerak Harmonis Sederhana ternyata bergantung pada elastisitas pegas serta massa benda yang melakukan getaran. Periode pegas tidak bergantung pada Amplitudo getaran. Dirimu dapat membuktikan hal ini dengan melakukan percobaan. Hitunglah periode pegas atau ayunan sederhana yang berosilasi. Variasikan simpangan (Amplitudo) pegas atau ayunan sederhana… selanjutnya bandingkan periode getaran yang memiliki simpangan (A) besar dan simpangan (A) yang kecil. Dirimu akan menemukan bahwa ternyata periode tidak bergantung pada Amplitudo. Kita juga dapat membuktikan hal itu secara matematis melalui persamaan periode yang akan diturunkan nanti….Pada pokok bahasan mengenai hubungan antara GHS dan GMB, kita telah memahami keterkaitan antara GHS dan GMB. Jika dirimu belum, sebaiknya dipelajari terlebih dahulu daripada tersesat dan kebingungan di sini… Kali ini kita mencoba menurunkan persamaan Periode Gerak Harmonis Sederhana dengan membandingkan GHS dengan benda yang melakukan GMB.Kita tinjau sebuah benda yang bergerak dengan laju linear tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di bawah. v adalah laju linear benda, vx adalah proyeksi laju linear benda pada sumbu x. Kedua segitiga yang memiliki sudut teta pada gambar di atas simetris. Sekarang mari kita hitung laju benda untuk komponen x :Ini adalah persamaan laju benda yang berosilasi dengan GHS, sebagaimana yang telah kita turunkan pada pembahasan mengenai Energi pada Gerak Harmonik Sederhana. Proyeksi ke sumbu x dari sebuah benda yang melakukan Gerak Melingkar Beraturan memiliki gerak yang sama seperti benda berosilasi pada ujung pegas.Sekarang mari kita turunkan persamaan periode. Apabila benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan, maka Kelajuan Linearnya sama dengan keliling lingkaran dibagi periode. secara matematis ditulis :Pada pembahasan mengenai energi pada Gerak Harmonik Sederhana, kita telah menurunkan persamaan Hukum Kekekalan Energi pada osilasi pegas. Ketika benda berada pada simpangan maksimum (A = amplitudo = simpangan maksimum), kecepatan benda = 0. dengan demikian, pada simpangan maksimum, jumlah total Energi Mekanik adalah :Ini adalah persamaan EM benda ketika benda berada pada simpangan maksimum.Ketika benda berada pada posisi kesetimbangan, benda memiliki kecepatan maksimum, sedangkan besar simpangan = 0 (x = A = 0). Dengan demikian pada titik kesetimbangan, total Energi Mekanik benda yang berosilasi pada ujung pegas adalah :Persamaan 1 dan persamaan 2 kita gabung menjadi :Kita tulis kembali persamaan Periode di atas :Hahahaha…………. setelah dahi berkerut, akhirnya kita mendapatkan persamaan periode GHS Berdasarkan persamaan di atas, tampak bahwa periode hanya bergantung pada massa benda (m) dan konstanta pegas (k). Periode tidak bergantung pada amplitudo (A). Makin besar massa benda, makin besar periode dan makin kaku pegas, makin kecil periode. Konstanta pegas adalah ukuran elastisitas pegas. Jadi apabila pegas makin kaku maka konstanta pegas besar.Massa benda besar berarti inersia benda besar. Dengan demikian, reaksi yang diberikan benda lebih lambat sehingga periode makin lama. Sebaliknya, makin kaku pegas (konstanta pegas besar) maka dibtuhkan gaya yang lebih besar (ingat hubungan F = -kx, di mana F sebanding dengan k).Frekuensi Gerak Harmonik Sederhana Kita langsung menurunkan persamaannya ya….. to the point Ini adalah persamaan frekuensi Gerak harmonik SederhanaWah… cepat…. Referensi :Giancoli, Douglas C. 2001. Fisika Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.Halliday dan Resnick. 1991. Fisika Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.Tipler, P.A. 1998. Fisika untuk Sains dan Teknik-Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penebit Erlangga.Young, Hugh D. & Freedman, Roger A. 2002. Fisika Universitas (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.

Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB)

Suatu benda dikatakan melakukan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) jika percepatannya selalu konstan. Percepatan merupakan besaran vektor (besaran yang mempunyai besar dan arah). Percepatan konstan berarti besar dan arah percepatan selalu konstan setiap saat. Walaupun besar percepatan suatu benda selalu konstan tetapi jika arah percepatan selalu berubah maka percepatan benda tidak konstan. Demikian juga sebaliknya jika arah percepatan suatu benda selalu konstan tetapi besar percepatan selalu berubah maka percepatan benda tidak konstan.Karena arah percepatan benda selalu konstan maka benda pasti bergerak pada lintasan lurus. Arah percepatan konstan = arah kecepatan konstan = arah gerakan benda konstan = arah gerakan benda tidak berubah = benda bergerak lurus.Besar percepatan konstan bisa berarti kelajuan bertambah secara konstan atau kelajuan berkurang secara konstan. Ketika kelajuan benda berkurang secara konstan, kadang kita menyebutnya sebagai perlambatan konstan. Untuk gerakan satu dimensi (gerakan pada lintasan lurus), kata percepatan digunakan ketika arah kecepatan = arah percepatan, sedangkan kata perlambatan digunakan ketika arah kecepatan dan percepatan berlawanan.Contoh 1 : Besar percepatan konstan (kelajuan benda bertambah secara konstan)Misalnya mula-mula mobil diam. Setelah 1 detik, mobil bergerak dengan kelajuan 2 m/s. Setelah 2 detik mobil bergerak dengan kelajuan 4 m/s. Setelah 3 detik mobil bergerak dengan kelajuan 6 m/s. Setelah 4 detik mobil bergerak dengan kelajuan 8 m/s. Dan seterusnya… Tampak bahwa setiap detik kelajuan mobil bertambah 2 m/s. Kita bisa mengatakan bahwa mobil mengalami percepatan konstan sebesar 2 m/s per sekon = 2 m/s2.Contoh 2 : Besar perlambatan konstan (kelajuan benda berkurang secara konstan)Misalnya mula-mula benda bergerak dengan kelajuan 10 km/jam. Setelah 1 detik, benda bergerak dengan kelajuan 8 km/jam. Setelah 2 detik benda bergerak dengan kelajuan 6 km/jam. Setelah 3 detik benda bergerak dengan kelajuan 4 km/jam. Setelah 4 detik benda bergerak dengan kelajuan 2 km/jam. Setelah 5 detik benda berhenti. Tampak bahwa setiap detik kelajuan benda berkurang 2 km/jam. Kita bisa mengatakan bahwa benda mengalami perlambatan konstan sebesar 2 km/jam per sekon.Perhatikan bahwa ketika dikatakan percepatan, maka yang dimaksudkan adalah percepatan sesaat. Demikian juga sebaliknya, ketika dikatakan percepatan sesaat, maka yang dimaksudkan adalah percepatan. Nah, dalam gerak lurus berubah beraturan (GLBB), percepatan benda selalu konstan setiap saat, karenanya percepatan benda sama dengan percepatan rata-ratanya. Jadi besar percepatan = besar percepatan rata-rata. Demikian juga, arah percepatan = arah percepatan rata-rata.Dalam kehidupan sehari-hari sangat sulit ditemukan benda yang melakukan gerak lurus berubah beraturan, di mana perubahan kecepatannya terjadi secara teratur, baik ketika hendak bergerak dari keadaan diam maupun ketika hendak berhenti. walaupun demikian, banyak situasi praktis terjadi ketika percepatan konstan/tetap atau mendekati konstan, yaitu jika percepatan tidak berubah terhadap waktu (ingat bahwa yang dimaksudkan di sini adalah percepatan tetap, bukan kecepatan).Penurunan Rumus Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB)Rumus dalam fisika sangat membantu kita dalam menjelaskan konsep fisika secara singkat dan praktis. Jadi cobalah untuk mencintai rumus, he2…. Dalam fisika, anda tidak boleh menghafal rumus. Pahami saja konsepnya, maka anda akan mengetahui dan memahami cara penurunan rumus tersebut. Hafal rumus akan membuat kita cepat lupa dan sulit menyelesaikan soal yang bervariasi….Sekarang kita coba menurunkan rumus-rumus dalam Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB). Pahami perlahan-lahan ya….Pada penjelasan di atas, telah disebutkan bahwa dalam GLBB, percepatan benda tetap atau konstan alias tidak berubah. (kalau di GLB, yang tetap adalah kecepatan). Nah, kalau percepatan benda tersebut tetap sejak awal benda tersebut bergerak, maka kita bisa mengatakan bahwa percepatan sesaat dan percepatan rata-ratanya sama. Bisa ya ? ingat bahwa percepatan benda tersebut tetap setiap saat, dengan demikian percepatan sesaatnya tetap. Percepatan rata-rata sama dengan percepatan sesaat karena baik percepatan awal maupun percepatan akhirnya sama, di mana selisih antara percepatan awal dan akhir sama dengan nol.Jika sudah paham, sekarang kita mulai menurunkan rumus-rumus alias persamaan-persamaan.Pada pembahasan mengenai percepatan, kita telah menurunkan persamaan alias rumus percepatan rata-rata, di manat0 adalah waktu awal ketika benda hendak bergerak, t adalah waktu akhir. Karena pada saat t0 benda belum bergerak maka kita bisa mengatakan t0 (waktu awal) = 0. Nah sekarang persamaan berubah menjadi :Satu masalah umum dalam GLBB adalah menentukan kecepatan sebuah benda pada waktu tertentu, jika diketahui percepatannya (sekali lagi ingat bahwa percepatan tetap). Untuk itu, persamaan percepatan yang kita turunkan di atas dapat digunakan untuk menyatakan persamaan yang menghubungkan kecepatan pada waktu tertentu (vt), kecepatan awal (v0) dan percepatan (a). sekarang kita obok2 persamaan di atas…. Jika dibalik akan menjadiIni adalah salah satu persamaan penting dalam GLBB, untuk menentukan kecepatan benda pada waktu tertentu apabila percepatannya diketahui. Jangan dihafal, pahami saja cara penurunannya dan rajin latihan soal biar semakin diingat….Selanjutnya, mari kita kembangkan persamaan di atas (persamaan I GLBB) untuk mencari persamaan yang digunakan untuk menghitung posisi benda setelah waktu t ketika benda tersebut mengalami percepatan tetap.Pada pembahasan mengenai kecepatan, kita telah menurunkan persamaan kecepataan rata-rataUntuk mencari nilai x, persamaan di atas kita tulis ulang menjadi :Karena pada GLBB kecepatan rata-rata bertambah secara beraturan, maka kecepatan rata-rata akan berada di tengah-tengah antara kecepatan awal dan kecepatan akhir :Persamaan ini berlaku untuk percepatan konstan dan tidak berlaku untuk gerak yang percepatannya tidak konstan. Kita tulis kembali persamaan a :Persamaan ini digunakan untuk menentukan posisi suatu benda yang bergerak dengan percepatan tetap. Jika benda mulai bergerak pada titik acuan = 0 (atau x0 = 0), maka persamaan 2 dapat ditulis menjadix = vot + ½ at2Sekarang kita turunkan persamaan/rumus yang dapat digunakan apabila t (waktu) tidak diketahui. Kita tulis lagi persamaan a :Terdapat empat persamaan yang menghubungkan posisi, kecepatan, percepatan dan waktu, jika percepatan (a) konstan, antara lain :Persamaan di atas tidak berlaku jika percepatan tidak konstan.Contoh soal 1 :Sebuah mobil sedang bergerak dengan kecepatan 20 m/s ke utara mengalami percepatan tetap 4 m/s2 selama 2,5 sekon. Tentukan kecepatan akhirnyaPanduan jawaban :Pada soal, yang diketahui adalah kecepatan awal (v0) = 20 m/s, percepatan (a) = 4 m/s dan waktu tempuh (t) = 2,5 sekon. Karena yang diketahui adalah kecepatan awal, percepatan dan waktu tempuh dan yang ditanyakan adalah kecepatan akhir, maka kita menggunakan persamaan/rumusContoh soal 2 : Sebuah pesawat terbang mulai bergerak dan dipercepat oleh mesinnya 2 m/s2 selama 30,0 s sebelum tinggal landas. Berapa panjang lintasan yang dilalui pesawat selama itu ?Panduan JawabanYang diketahui adalah percepatan (a) = 2 m/s2 dan waktu tempuh 30,0 s. wah gawat, yang diketahui Cuma dua…. Bingung, tolooooooooooooooooong dong ding dong… pake rumus yang mana, PAKE RUMUS GAWAT DARURAT. He2……Santai saja. Kalau ada soal seperti itu, kamu harus pake logika juga. Ada satu hal yang tersembunyi, yaitu kecepatan awal (v0). Sebelum bergerak, pesawat itu pasti diam. Berarti v0 = 0.Yang ditanyakan pada soal itu adalah panjang lintasan yang dilalui pesawat. Tulis dulu persamaannya (hal ini membantu kita untuk mengecek apa saja yang dibutuhkan untuk menyelesaikan soal tersebut)s = so + vot + ½ at2Pada soal di atas, S0 = 0, karena pesawat bergerak dari titik acuan nol. Karena semua telah diketahui maka kita langsung menghitung panjang lintasan yang ditempuh pesawat :s = 0 + (0)(30 s) + ½ (2 m/s2)(30 s)2s = … LanjuTkaN!s = 900 m.Contoh soal 3 :Sebuah mobil bergerak pada lintasan lurus dengan kecepatan 60 km/jam. karena ada rintangan, sopir menginjak pedal rem sehingga mobil mendapat perlambatan (percepatan yang nilainya negatif) 8 m/s2. berapa jarak yang masih ditempuh mobil setelah pengereman dilakukan ?Panduan jawaban :Untuk menyelesaikan soal ini dibutuhkan ketelitian dan logika. Perhatikan bahwa yang ditanyakan adalah jarak yang masih ditempuh setelah pengereman dilakukan. Ini berarti setelah pengereman, mobil tersebut berhenti. dengan demikian kecepatan akhir mobil (vt) = 0. karena kita menghitung jarak setelah pengereman, maka kecepatan awal (v0) mobil = 60 km/jam (dikonversi terlebih dahulu menjadi m/s, 60 km/jam = 16,67 m/s ). perlambatan (percepatan yang bernilai negatif) yang dialami mobil = -8 m/s2. karena yang diketahui adalah vt, vo dan a, sedangkan yang ditanyakan adalah s (t tidak diketahui), maka kita menggunakan persamaanDengan demikian, jarak yang masih ditempuh mobil setelah pengereman hingga berhenti = 17,36 meter (yang ditanyakan adalah jarak(besaran skalar)) GRAFIK GLBB Grafik percepatan terhadap waktuGerak lurus berubah beraturan adalah gerak lurus dengan percepatan tetap. Oleh karena itu, grafik percepatan terhadap waktu (a-t) berbentuk garis lurus horisontal, yang sejajar dengan sumbuh t. lihat grafik a – t di bawahGrafik kecepatan terhadap waktu (v-t) untuk Percepatan PositifGrafik kecepatan terhadap waktu (v-t), dapat dikelompokkan menjadi dua bagian. Pertama, grafiknya berbentuk garis lurus miring ke atas melalui titik acuan O(0,0), seperti pada gambar di bawah ini. Grafik ini berlaku apabila kecepatan awal (v0) = 0, atau dengan kata lain benda bergerak dari keadaan diam.Kedua, jika kecepatan awal (v0) tidak nol, grafik v-t tetap berbentuk garis lurus miring ke atas, tetapi untuk t = 0, grafik dimulai dari v0. lihat gambar di bawahNilai apa yang diwakili oleh garis miring pada grafik tersebut ?Pada pelajaran matematika SMP, kita sudah belajar mengenai grafik seperti ini. Persamaan matematis y = mx + n menghasilkan grafik y terhadap x ( y sumbu tegak dan x sumbu datar) seperti pada gambar di bawah.Kemiringan grafik (gradien) yaitu tangen sudut terhadap sumbu x positif sama dengan nilai m dalam persamaan y = n + m x. Persamaan y = n + mx mirip dengan persamaan kecepatan GLBB v = v0 + at. Berdasarkan kemiripan ini, jika kemiringan grafik y – x sama dengan m, maka kita dapat mengatakan bahwa kemiringan grafik v-t sama dengan a.Jadi kemiringan pada grafik kecepatan terhadap waktu (v-t) menyatakan nilai percepatan (a).Grafik kecepatan terhadap waktu (v-t) untuk Perlambatan Contoh grafik kecepatan terhadap waktu (v-t) untuk perlambatan dapat anda lihat pada gambar di bawah ini.Grafik Kedudukan Terhadap Waktu (x-t)Persamaan kedudukan suatu benda pada GLBB telah kita turunkan pada awal pokok bahasan ini, yakni x = xo + vot + ½ at2Kedudukan (x) merupakan fungsi kuadrat dalam t. dengan demikian, grafik x – t berbentuk parabola. Untuk nilai percepatan positif (a > 0), grafik x – t berbentuk parabola terbuka ke atas, sebagaimana tampak pada gambar di bawah ini.Apabila percepatan bernilai negatif (a < 0), di mana benda mengalami perlambatan, grafik x – t akan berbentuk parabola terbuka ke bawah. Pertanyaan piter :Tolong kasih penjelan untuk soal ini yach,,he,,he,1. x(t ) = 4t3 + 8t² + 6t – 5a. Berapa kecepatan rata-rata pada t0.5 dant 2.5b. Berapa kecepatan sesaat pada t 2b. Berapa percepatannya ratanya,?Terimakasih,,he,,he,,salam gbuPanduan jawaban :a) Kecepatan rata-rata pada t = 0,5 dan t = 2,5t1 = 0,5 dan t2 = 2,5x1 = 4t3 + 8t² + 6t – 5= 4(0,5)3 + 8(0,5)² + 6(0,5) – 5= 4(0,125) + 8(0,25) + 6(0,5) – 5= 0,5 + 2 + 3 – 5= 0,5x2 = 4t3 + 8t² + 6t – 5= 4(2,5)3 + 8(2,5)² + 6(2,5) – 5= 4(15,625) + 8(6,25) + 6(2,5) – 5= 62,5 + 50 + 15 – 5= 122,5b) Kecepatan sesaat pada t = 2v = 3(4t2) + 2(8t) + 6v = 12t2 + 16t + 6v = 12 (2)2 + 16(2) + 6v = 48 + 32 + 6v = 86Kecepatan sesaat pada t = 2 adalah 86c) Berapa percepatan rata-ratanya ?v1 = 12t12 + 16t1 + 6v2 = 12t22 + 16t2 + 6De piter, t1 dan t2 berapa ?Masukan saja nilai t1 dan t2 ke dalam persamaan v1 dan v2. Setelah itu cari arata-rata.Referensi :Giancoli, Douglas C. 2001. Fisika Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.Halliday dan Resnick. 1991. Fisika Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.Tipler, P.A. 1998. Fisika untuk Sains dan Teknik-Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penebit Erlangga.Young, Hugh D. & Freedman, Roger A. 2002. Fisika Universitas (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.

Gerak Lurus Beraturan (GLB)

Suatu benda dikatakan melakukan gerak lurus beraturan jika kecepatannya selalu konstan. Kecepatan konstan artinya besar kecepatan alias kelajuan dan arah kecepatan selalu konstan. Karena besar kecepatan alias kelajuan dan arah kecepatan selalu konstan maka bisa dikatakan bahwa benda bergerak pada lintasan lurus dengan kelajuan konstan.Misalnya sebuah mobil bergerak lurus ke arah timur dengan kelajuan konstan 10 m/s. Ini berarti mobil bergerak lurus ke arah timur sejauh 10 meter setiap sekon. Karena kelajuannya konstan maka setelah 2 sekon, mobil bergerak lurus ke arah timur sejauh 20 meter, setelah 3 sekon mobil bergerak lurus ke arah timur sejauh 30 meter… dan seterusnya… bandingkan dengan gambar di samping. Perhatikan besar dan arah panah. Panjang panah mewakili besar kecepatan alias kelajuan, sedangkan arah panah mewakili arah kecepatan. Arah kecepatan mobil = arah perpindahan mobil = arah gerak mobil.Perhatikan bahwa ketika dikatakan kecepatan, maka yang dimaksudkan adalah kecepatan sesaat. Demikian juga sebaliknya, ketika dikatakan kecepatan sesaat, maka yang dimaksudkan adalah kecepatan.Ketika sebuah benda melakukan gerak lurus beraturan, kecepatan benda sama dengan kecepatan rata-rata. Kok bisa ya ? yupz. Dalam gerak lurus beraturan (GLB) kecepatan benda selalu konstan. Kecepatan konstan berarti besar kecepatan (besar kecepatan = kelajuan) dan arah kecepatan selalu konstan. Besar kecepatan atau kelajuan benda konstan atau selalu sama setiap saat karenanya besar kecepatan atau kelajuan pasti sama dengan besar kecepatan rata-rata. Bingun ? pahami contoh berikut…Ketika ulangan fisika pertama, saya mendapat nilai 10. Ulangan fisika kedua, saya mendapat nilai 10. Berapa nilai rata-rata ? nilai rata-rata = (10 + 10) / 2 = 20/2 = 10Nilai fisika anda selalu 10 jadi rata-ratanya juga 10. Demikian halnya dengan benda yang bergerak dengan kelajuan konstan. Kelajuan benda selalu konstan atau selalu sama sehingga kelajuan rata-rata juga sama. Kalau benda bergerak dengan kelajuan konstan 10 m/s maka kelajuan rata-ratanya juga 10 m/s.Grafik Gerak Lurus Beraturan Grafik sangat membantu kita dalam menafsirkan suatu hal dengan mudah dan cepat. Untuk memudahkan kita menemukan hubungan antara Kecepatan, perpindahan dan waktu tempuh maka akan sangat membantu jika digambarkan grafik hubungan ketiga komponen tersebut.Grafik Kecepatan terhadap Waktu (v-t)Berdasarkan grafik di atas, tampak bahwa besar kecepatan bernilai tetap pada tiap satuan waktu. Besar kecepatan tetap ditandai oleh garis lurus, berawal dari t = 0 hingga t akhir.Contoh : perhatikan grafik kecepatan terhadap waktu (v-t) di bawah iniBesar kecepatan benda pada grafik di atas adalah 3 m/s. 1, 2, 3 dstnya adalah waktu tempuh (satuannya detik). Amati bahwa walaupun waktu berubah dari 1 detik sampai 5, besar kecepatan benda selalu sama (ditandai oleh garis lurus).Bagaimana kita mengetahui besar perpindahan benda melalui grafik di atas ? luas daerah yang diarsir pada grafik di atas sama dengan besar perpindahan yang ditempuh benda. Jadi, untuk mengetahui besarnya perpindahan, hitung saja luas daerah yang diarsir. Tentu saja satuan perpindahan adalah satuan panjang, bukan satuan luas.Dari grafik di atas, v = 5 m/s, sedangkan t = 3 s. Dengan demikian, besar perpindahan yang ditempuh benda = (5 m/s x 3 s) = 15 m. Cara lain menghitung besar perpindahan adalah menggunakan persamaan GLB. s = v t = 5 m/s x 3 s = 15 m.Persamaan GLB yang kita gunakan untuk menghitung besar perpindahan di atas berlaku jika gerakan benda memenuhi grafik tersebut. Pada grafik terlihat bahwa pada saat t = 0 s, maka v = 0. Artinya, pada mulanya benda diam, baru kemudian bergerak dengan kecepatan sebesar 5 m/s. Padahal dapat saja terjadi bahwa saat awal kita amati benda sudah dalam keadaan bergerak, sehingga benda telah memiliki posisi awal s0. Untuk itu lebih memahami hal ini, pelajari grafik di bawah ini.Grafik Perpindahan terhadap Waktu (x-t)Grafik posisi terhadap waktu, di mana posisi awal x0 berhimpit dengan titik acuan nol.Makna grafik di atas adalah bahwa besar kecepatan selalu tetap. Anda jangan bingung dengan kemiringan garis yang mewakili kecepatan. Makin besar nilai x, makin besar juga nilai t sehingga hasil perbandingan x dan y selalu sama.Contoh : Perhatikan contoh grafik posisi terhadap waktu (x – t) di bawah iniBagaimanakah cara membaca grafik ini ?Pada saat t = 0 s, besar perpindahan yang ditempuh oleh benda = x = 0. Pada saat t = 1 s, besar perpindahan yang ditempuh oleh benda = 2 m. Pada saat t = 2 s, besar perpindahan yang ditempuh oleh benda = 4 m. Pada saat t = 3 s, besar perpindahan yang ditempuh oleh benda = 6 m dan seterusnya. Berdasarkan hal ini dapat kita simpulkan bahwa benda bergerak dengan kecepatan konstan sebesar 2 m/s.Grafik posisi terhadap waktu, di mana posisi awal x0 tidak berhimpit dengan titik acuan nol.Contoh soal 1 :Sebuah pesawat, terbang dengan kecepatan konstan 100 km/jam ke arah timur. Berapa jarak tempuh pesawat setelah 1 jam ? tentukan kecepatan pesawat dan jarak yang ditempuh pesawat setelah 30 menit…Pembahasan :Kelajuan pesawat 100 km/jam. Ini berarti pesawat bergerak sejauh 100 km setiap jam. Setelah 1 jam, pesawat bergerak sejauh 100 km.Kecepatan pesawat setelah 30 menit ? pesawat bergerak ke timur karenanya arah gerakan pesawat = arah kecepatan pesawat = ke timur. Besar kecepatan alias kelajuan pesawat selalu konstan, karenanya kelajuan pesawat setiap saat selalu 100 km/jam.Contoh soal 2 :Sebuah mobil bergerak pada lintasan lurus dengan kelajuan konstan 40 km/jam. Tentukan selang waktu yang dibutuhkan mobil untuk menempuh jarak 10 km…Pembahasan :Mobil bergerak dengan kelajuan konstan 40 km/jam. Ini berarti mobil bergerak sejauh 40 km setiap jam (1 jam = 60 menit)Setelah 60 menit, mobil bergerak sejauh 40 kmSetelah 30 menit, mobil bergerak sejauh 20 kmSetelah 15 menit, mobil bergerak sejauh 10 kmJadi selang waktu yang dibutuhkan mobil untuk menempuh jarak 10 km = 15 menit.Contoh soal 3 :Seekor burung merpati terbang lurus sejauh 50 km setiap 1 jam. Berapa kelajuan burung merpati setelah 2 jam ?Pembahasan :Burung merpati terbang sejauh 50 km setiap 1 jam = 50 km per jam = 50 km/jam.Setelah 2 jam, burung merpati terbang sejauh 100 km. Kelajuannya berapa ? kelajuannya tetap 50 km/jam.Contoh soal 4 :Dua mobil saling mendekat pada lintasan lurus paralel. Masing-masing mobil bergerak dengan laju tetap 80 km/jam. Jika pada awalnya jarak antara kedua mobil tersebut 20 km, berapa waktu yang diperlukan kedua mobil tersebut untuk bertemu ?Pembahasan :Sebelum bertemu, kedua mobil bergerak pada lintasan lurus sejauh 10 km.Kedua mobil bergerak dengan laju tetap 80 km/jam. Ini berarti kedua mobil bergerak sejauh 80 km setiap jam atau mobil bergerak sejauh 80 km setiap 60 menit (1 jam = 60 menit)Mobil bergerak sejauh 80 km dalam 60 menit, Mobil bergerak sejauh 40 km dalam 30 menitMobil bergerak sejauh 20 km dalam 15 menit, Mobil bergerak sejauh 10 km dalam 7,5 menit.Salah satu mobil bergerak sejauh 10 km dalam 7,5 menit; salah satu mobil bergerak sejauh 10 km dalam 7,5 menit. Karena pada awalnya jarak antara kedua mobil = 20 km, maka kita bisa mengatakan bahwa kedua mobil bertemu setelah bergerak selama 7,5 menit. 7,5 menit = 7,5 (60 s) = 450 sekonReferensi :Giancoli, Douglas C. 2001. Fisika Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.Halliday dan Resnick. 1991. Fisika Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.Tipler, P.A. 1998. Fisika untuk Sains dan Teknik-Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penebit Erlangga.Young, Hugh D. & Freedman, Roger A. 2002. Fisika Universitas (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.

Kerangka Acuan, titik acuan, Kedudukan, Jarak dan Perpindahan

Kerangka AcuanApabila kita mengukur posisi, jarak atau kelajuan suatu benda maka kita berpatokan pada suatu kerangka acuan. Misalnya ketika saya berada di atas mobil yang bergerak dengan laju 60 km/jam, sebenarnya saya sedang bergerak di atas permukaan bumi, sehingga kelajuan mobil tersebut berpatokan pada permukaan bumi sebagai kerangka acuan. Atau ketika saya berada di dalam kereta api yang bergerak dengan kelajuan 60 km/jam, saya melihat seorang yang berjalan ke arah saya, misalnya dengan kelajuan 5 km/jam. Laju orang yang berjalan tersebut sebenarnya ditetapkan dengan berpatokan pada kereta api sebagai kerangka acuan, sedangkan laju kereta sebesar 60 km/jam berpatokan pada permukaan bumi sebagai kerangka acuan. Apabila orang tersebut berjalan searah dengan kereta api maka kelajuan orang tersebut 65 km/jam terhadap permukaan bumi sebagai kerangka acuan. Dalam kehidupan sehari-hari, ketika menyebutkan kelajuan suatu gerak benda, maksud kita sebenarnya terhadap permukaan bumi sebagai kerangka acuannya, hanya hal tersebut jarang dikatakan.Kedudukan alias posisiKedudukan yang dimaksudkan di sini tidak sama dengan kata kedudukan yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari. "Ayah saya punya pangkat dan kedudukan"… bukan seperti ini. Arti "kedudukan" dalam fisika sedikit berbeda.Dalam fisika, kedudukan menyatakan posisi atau letak suatu benda (atau manusia) pada suatu saat tertentu terhadap suatu titik acuan. Misalnya sekarang anda berada di rumah. Jika satu jam kemudian anda berada di sekolah, maka kedudukan atau posisimu sudah berubah.Untuk lebih memahami konsep titik acuan, kedudukan, posisi, jarak dan perpindahan, pelajari pembahasan soal di bawah ini :Setelah mengeluarkan mobil dari garasi dan menyalakan mesin, ayah mengendarai mobil ke arah utara sejauh 100 meter. Gambarkan perjalanan ayah dalam sumbu koordinat…Dalam fisika, kita sering menggambar sumbu koordinat untuk menyatakan kedudukan/posisi, jarak, perpindahan atau suatu gerakan tertentu. Biasanya titik 0 pada sumbu koordinat dipilih sebagai titik acuan. Posisi sepanjang sumbu x biasanya dianggap positif jika terletak di sebelah kanan 0 dan negatif jika terletak di sebelah kiri titik 0. Posisi sepanjang sumbu y biasanya dianggap positif jika terletak di atas titik 0 dan negatif bila terletak di bawah titik 0 (Ini hanya merupakan kesepakatan).Karena ayah memulai perjalanan dari rumah maka kita menganggap rumah merupakan titik acuan. Dalam sumbu koordinat, posisi rumah diwakili oleh titik 0 pada sumbu koordinat. Sesuai dengan arah mata angin, arah utara dianggap sejajar dengan sumbu y positif, arah timur sejajar dengan sumbu x positif, arah selatan sejajar dengan sumbu y negatif, arah barat sejajar dengan sumbu x negatif (lihat gambar di atas).Salah satu hal yang penting dalam menggambar sumbu koordinat adalah penentuan skala. Anda dapat memiliki skala sesuai dengan selera, tetapi perlu digambarkan secara jelas pada sumbu koordinat.Sebuah sepeda motor bergerak ke arah timur sejauh 50 meter. Tentukan jarak dan perpindahan total yang dilalui sepeda motor…Jarak termasuk besaran skalar (besaran skalar = besaran fisika yang hanya mempunyai besar saja. Besaran skalar tidak mempunyai arah). Arah tidak turut mempengaruhi nilai jarak… Jarak total yang ditempuh sepeda motor = 50 meterPerpindahan termasuk besaran vektor (besaran vektor = besaran fisika yang mempunyai besar dan arah). Karena termasuk besaran vektor maka arah turut mempengaruhi nilai perpindahan. Perpindahan total yang ditempuh sepeda motor = 50 meter. Arah vektor perpindahan adalah ke timur.Perhatikan bahwa pada contoh ini jarak = besar perpindahan = 50 meter. Apakah jarak selalu sama dengan besar perpindahan ? cermati contoh soal selanjutnya…Sebuah sepeda motor bergerak ke arah timur sejauh 100 meter lalu berbalik ke barat sejauh 50 meter. Tentukan jarak total dan perpindahan total yang ditempuh sepeda motor… Jarak total = 100 m + 50 m = 150 meterBesar perpindahan total = 100 m – 50 m = 50 meter (perubahan posisi hanya sejauh 50 meter dari posisi awal). Karena perpindahan termasuk besaran vektor maka kita harus menyebutkan arahnya. Arah vektor perpindahan adalah ke timur atau searah sumbu x positif. Vektor perpindahan diwakili oleh tanda panah berwarna biru.Perhatikan bahwa pada contoh ini jarak tidak sama dengan besar perpindahan… Jarak = 150 meter, sedangkan besar perpindahan = 50 meter.Sebuah mobil bergerak ke arah utara sejauh 50 meter dan berbalik ke arah selatan sejauh 50 meter. Tentukan jarak total dan perpindahan total yang ditempuh mobil tersebut… Jarak total = 50 m + 50 m = 100 meterBagaimana dengan perpindahan ?Besar perpindahan total = 50 m – 50 m = 0. Mobil tidak melakukan perpindahan, karena kedudukan atau posisi akhir sama dengan kedudukan atau posisi awal.Sebuah pesawat, terbang ke arah timur sejauh 400 meter lalu berbelok arah ke utara sejauh 300 meter. Tentukan jarak total dan perpindahan total yang ditempuh pesawat… Jarak total = 400 m + 300 m = 700 meterPerpindahan ?Soal ini tidak seperti soal sebelumnya… kita tidak asal menjumlahkan atau mengurangkan, karena vektor perpindahan tidak segaris. Untuk menghitung besar perpindahan, kita bisa menggunakan rumus phytagoras.Besar vektor perpindahan = 500 meter. Arah vektor perpindahan bisa ditentukan menggunakan rumus tangen :Arah vektor perpindahan adalah 30o terhadap sumbu x positif. Perhatikan gambar di atas… vektor perpindahan diwakili oleh gambar berwarna biru…Referensi :Giancoli, Douglas C. 2001. Fisika Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.Halliday dan Resnick. 1991. Fisika Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.Tipler, P.A. 1998. Fisika untuk Sains dan Teknik-Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penebit Erlangga.Young, Hugh D. & Freedman, Roger A. 2002. Fisika Universitas (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.

Hukum Hooke

Pernakah dirimu melihat alat yang tampak pada gambar ini ? wah, hari gini belum itu adalah gambar pegas. Nyamannya kehidupan kita tidak terlepas dari bantuan pegas, walaupun kadang tidak kita sadari. Ketika dirimu mengendarai sepeda motor atau berada dalam sebuah mobil yang sedang bergerak di jalan yang permukaannya tidak rata alias jalan berlubang, pegas membantu meredam kejutan sehingga dirimu merasa sangat nyaman berada dalam mobil atau ketika berada di atas sepeda motor. Apabila setiap kendaraan yang anda tumpangi tidak memiliki pegas, gurumuda yakin perjalanan anda akan sangat melelahkan, apalagi ketika menempuh perjalanan yang jauh. Ketika turun dari mobil langsung meringis kesakitan karena terserang encok dan pegal linu pegas tidak hanya dimanfaatkan di mobil atau sepeda motor, tetapi pada semua kendaraan yang selalu kita gunakan. Selengkapnya akan kita kupas tuntas pada akhir tulisan ini. Pegas merupakan salah satu contoh benda elastis. Contoh benda elastis lainnya adalah karet mainan(kalo karet pasti tahu ). Btw, elastis itu apa ya ? terus apa hubungan antara elastis dan hukum Hooke ? Nah, sekarang bersiap-siaplah untuk melakukan pertempuran dengan ilmu fisika. Siapkanlah amunisi sebanyak-banyaknya; sapu tangan atau tisu untuk ngelap keringat, obak sakit kepala dkk… Selamat belajar ya, semoga dirimu memenangi pertempuran ini ELASTISITASKetika dirimu menarik karet mainan sampai batas tertentu, karet tersebut bertambah panjang. silahkan dicoba kalau tidak percaya. Jika tarikanmu dilepaskan, maka karet akan kembali ke panjang semula. Demikian juga ketika dirimu merentangkan pegas, pegas tersebut akan bertambah panjang. tetapi ketika dilepaskan, panjang pegas akan kembali seperti semula. Apabila di laboratorium sekolah anda terdapat pegas, silahkan melakukan pembuktian ini. Regangkan pegas tersebut dan ketika dilepaskan maka panjang pegas akan kembali seperti semula. Mengapa demikian ? hal itu disebabkan karena benda-benda tersebut memiliki sifat elastis. Elastis atau elastsisitas adalah kemampuan sebuah benda untuk kembali ke bentuk awalnya ketika gaya luar yang diberikan pada benda tersebut dihilangkan. Jika sebuah gaya diberikan pada sebuah benda yang elastis, maka bentuk benda tersebut berubah. Untuk pegas dan karet, yang dimaksudkan dengan perubahan bentuk adalah pertambahan panjang.Perlu anda ketahui bahwa gaya yang diberikan juga memiliki batas-batas tertentu. Sebuah karet bisa putus jika gaya tarik yang diberikan sangat besar, melawati batas elastisitasnya. Demikian juga sebuah pegas tidak akan kembali ke bentuk semula jika diregangkan dengan gaya yang sangat besar. Jadi benda-benda elastis tersebut memiliki batas elastisitas. Batas elastis itu apa ? lalu bagaimana kita bisa mengetahui hubungan antara besarnya gaya yang diberikan dan perubahan panjang minimum sebuah benda elastis agar benda tersebut bisa kembali ke bentuk semula ? untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita berkenalan dengan paman Hooke.HUKUM HOOKEHukum Hooke pada PegasMisalnya kita tinjau pegas yang dipasang horisontal, di mana pada ujung pegas tersebut dikaitkan sebuah benda bermassa m. Massa benda kita abaikan, demikian juga dengan gaya gesekan, sehingga benda meluncur pada permukaan horisontal tanpa hambatan. Terlebih dahulu kita tetapkan arah positif ke kanan dan arah negatif ke kiri. Setiap pegas memiliki panjang alami, jika pada pegas tersebut tidak diberikan gaya. Pada kedaan ini, benda yang dikaitkan pada ujung pegas berada dalam posisi setimbang (lihat gambar a). Untuk semakin memudahkan pemahaman dirimu,sebaiknya dilakukan juga percobaan.Apabila benda ditarik ke kanan sejauh +x (pegas diregangkan), pegas akan memberikan gaya pemulih pada benda tersebut yang arahnya ke kiri sehingga benda kembali ke posisi setimbangnya (gambar b).Sebaliknya, jika benda ditarik ke kiri sejauh -x, pegas juga memberikan gaya pemulih untuk mengembalikan benda tersebut ke kanan sehingga benda kembali ke posisi setimbang (gambar c). Besar gaya pemulih F ternyata berbanding lurus dengan simpangan x dari pegas yang direntangkan atau ditekan dari posisi setimbang (posisi setimbang ketika x = 0). Secara matematis ditulis : Persamaan ini sering dikenal sebagai persamaan pegas dan merupakan hukum hooke. Hukum ini dicetuskan oleh paman Robert Hooke (1635-1703). k adalah konstanta dan x adalah simpangan. Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya pemulih alias F mempunyai arah berlawanan dengan simpangan x. Ketika kita menarik pegas ke kanan maka x bernilai positif, tetapi arah F ke kiri (berlawanan arah dengan simpangan x). Sebaliknya jika pegas ditekan, x berarah ke kiri (negatif), sedangkan gaya F bekerja ke kanan. Jadi gaya F selalu bekeja berlawanan arah dengan arah simpangan x. k adalah konstanta pegas. Konstanta pegas berkaitan dengan elastisitas sebuah pegas. Semakin besar konstanta pegas (semakin kaku sebuah pegas), semakin besar gaya yang diperlukan untuk menekan atau meregangkan pegas. Sebaliknya semakin elastis sebuah pegas (semakin kecil konstanta pegas), semakin kecil gaya yang diperlukan untuk meregangkan pegas. Untuk meregangkan pegas sejauh x, kita akan memberikan gaya luar pada pegas, yang besarnya sama dengan F = +kx. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa x sebanding dengan gaya yang diberikan pada benda.Hukum Hooke untuk benda non PegasHukum hooke ternyata berlaku juga untuk semua benda padat, dari besi sampai tulang tetapi hanya sampai pada batas-batas tertentu. Mari kita tinjau sebuah batang logam yang digantung vertikal, seperti yang tampak pada gambar di bawah.Pada benda bekerja gaya berat (berat = gaya gravitasi yang bekerja pada benda), yang besarnya = mg dan arahnya menuju ke bawah (tegak lurus permukaan bumi). Akibat adanya gaya berat, batang logam tersebut bertambah panjang sejauh (delta L)Jika besar pertambahan panjang (delta L) lebih kecil dibandingkan dengan panjang batang logam, hasil eksperimen membuktikan bahwa pertambahan panjang (delta L) sebanding dengan gaya berat yang bekerja pada benda. Perbandingan ini dinyatakan dengan persamaan :Persamaan ini kadang disebut sebagai hukum Hooke. Kita juga bisa menggantikan gaya berat dengan gaya tarik, seandainya pada ujung batang logam tersebut tidak digantungkan beban.Besarnya gaya yang diberikan pada benda memiliki batas-batas tertentu. Jika gaya sangat besar maka regangan benda sangat besar sehingga akhirnya benda patah. Hubungan antara gaya dan pertambahan panjang (atau simpangan pada pegas) dinyatakan melalui grafik di bawah ini.Jika sebuah benda diberikan gaya maka hukum Hooke hanya berlaku sepanjang daerah elastis sampai pada titik yang menunjukkan batas hukum hooke. Jika benda diberikan gaya hingga melewati batas hukum hooke dan mencapai batas elastisitas, maka panjang benda akan kembali seperti semula jika gaya yang diberikan tidak melewati batas elastisitas. tapi hukum Hooke tidak berlaku pada daerah antara batas hukum hooke dan batas elastisitas. Jika benda diberikan gaya yang sangat besar hingga melewati batas elastisitas, maka benda tersebut akan memasuki daerah plastis dan ketika gaya dihilangkan, panjang benda tidak akan kembali seperti semula; benda tersebut akan berubah bentuk secara tetap. Jika pertambahan panjang benda mencapai titik patah, maka benda tersebut akan patah.Berdasarkan persamaan hukum Hooke di atas, pertambahan panjang (delta L) suatu benda bergantung pada besarnya gaya yang diberikan (F) dan materi penyusun dan dimensi benda (dinyatakan dalam konstanta k). Benda yang dibentuk oleh materi yang berbeda akan memiliki pertambahan panjang yang berbeda walaupun diberikan gaya yang sama, misalnya tulang dan besi. Demikian juga, walaupun sebuah benda terbuat dari materi yang sama (besi, misalnya), tetapi memiliki panjang dan luas penampang yang berbeda maka benda tersebut akan mengalami pertambahan panjang yang berbeda sekalipun diberikan gaya yang sama. Jika kita membandingkan batang yang terbuat dari materi yang sama tetapi memiliki panjang dan luas penampang yang berbeda, ketika diberikan gaya yang sama, besar pertambahan panjang sebanding dengan panjang benda mula-mula dan berbanding terbalik dengan luas penampang. Makin panjang suatu benda, makin besar besar pertambahan panjangnya, sebaliknya semakin tebal benda, semakin kecil pertambahan panjangnya. Jika hubungan ini kita rumuskan secara matematis, maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut :Persamaan ini menyatakan hubungan antara pertambahan panjang (delta L) dengan gaya (F) dan konstanta (k). Materi penyusun dan dimensi benda dinyatakan dalam konstanta k. Untuk materi penyusun yang sama, besar pertambahan panjang (delta L) sebanding dengan panjang benda mula-mula (Lo) dan berbanding terbalik dengan luas penampang (A). Kalau dirimu bingung dengan panjang mula-mula atau luas penampang, coba amati gambar di bawah ini terlebih dahulu.Dah paham panjang mula-mula (Lo) dan luas penampang (A) ?... Lanjut ya …Besar E bergantung pada benda (E merupakan sifat benda). Secara matematis akan kita turunkan nanti… tuh di bawahPada persamaan ini tampak bahwa pertambahan panjang (delta L) sebanding dengan hasil kali panjang benda mula-mula (Lo) dan Gaya per satuan Luas (F/A).TeganganGaya per satuan Luas disebut juga sebagai tegangan. Secara matematis ditulis :Satuan tegangan adalah N/m2 (Newton per meter kuadrat) ReganganRegangan merupakan perbandingan antara perubahan panjang dengan panjang awal. Secara matematis ditulis :Karena L sama-sama merupakan dimensi panjang, maka regangan tidak mempunyai satuan (regangan tidak mempunyai dimensi).Regangan merupakan ukuran perubahan bentuk benda dan merupakan tanggapan yang diberikan oleh benda terhadap tegangan yang diberikan. Jika hubungan antara tegangan dan regangan dirumuskan secara matematis, maka akan diperoleh persamaan berikut :Ini adalah persamaan matematis dari Modulus Elastis (E) alias modulus Young (Y). Jadi modulus elastis sebanding dengan Tegangan dan berbanding terbalik Regangan. Di bawah ini adalah daftar modulus elastis dari berbagai jenis benda padat Referensi :Giancoli, Douglas C. 2001. Fisika Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.Halliday dan Resnick. 1991. Fisika Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.Tipler, P.A. 1998. Fisika untuk Sains dan Teknik-Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penebit Erlangga.Young, Hugh D. & Freedman, Roger A. 2002. Fisika Universitas (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.